LAN property for ergodic diffusions with discrete observations

• Published in: Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques Vol. 38; no. 5; pp. 711 - 737
• Main Author: Gobet, Emmanuel
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Paris Elsevier Masson SAS 2002; Elsevier
• Subjects: Ergodic diffusion process; Exact sciences and technology; Inference from stochastic processes; time series analysis; LAN property; Log-likelihood ratio; Malliavin calculus; Mathematics; Parametric estimation; Parametric inference; Probability and statistics; Probability theory and stochastic processes; Sciences and techniques of general use; Statistics; Stochastic analysis; Malliavin calculus; Parametric estimation; Ergodic diffusion process; Log-likelihood ratio; LAN property; Local asymptotic normality; Estimate; Likelihood ratio; Ergodicity; Induced hypothermia; Difference equation; Sampling distribution; Hypothesis test; Stochastic analysis; Elliptic equation; Multidimensional model; Diffusion process; Density function; Diffusion coefficient; Parametric inference; Convergence in probability; Stochastic equation
• ISSN: 0246-0203
• DOI: 10.1016/S0246-0203(02)01107-X

We consider a multidimensional elliptic diffusion X α, β , whose drift b( α, x) and diffusion coefficients S( β, x) depend on multidimensional parameters α and β. We assume some various hypotheses on b and S, which ensure that X α, β is ergodic, and we address the problem of the validity of the Local Asymptotic Normality (LAN in short) property for the likelihoods, when the sample is ( X kΔ n ) 0⩽ k⩽ n , under the conditions Δ n →0 and nΔ n →+∞. We prove that the LAN property is satisfied, at rate nΔ n for α and n for β: our approach is based on a Malliavin calculus transformation of the likelihoods. Nous considèrons un processus de diffusion multidimensionnel elliptique X α, β , dont les coefficients de dérive b( α, x) et de diffusion S( β, x) dépendent de paramètres multidimensionnels α et β. Nous formulons plusieurs jeux d'hypothèses sur b and S, assurant l'ergodicité de X α, β , et nous nous intéressons à la validité de la propriété LAN (Local Asymptotic Normality) pour les vraisemblances, quand l'échantillon observé est ( X kΔ n ) 0⩽ k⩽ n , sous les conditions Δ n →0 et nΔ n →+∞. Nous démontrons que la proprièté LAN est vérifiée, avec les vitesses nΔ n pour α et n pour β : notre approche repose sur une réécriture du rapport de vraisemblance à l'aide du calcul de Malliavin.