Composite Asymptotic Expansions and Difference Equations

• Published in: Revue Africaine de Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées Vol. 20 - 2015 - Special...; pp. 63 - 93
• Main Authors: Fruchard, Augustin, Schäfke, Reinhard
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: African Society in Digital Science 01.08.2015
• Subjects: Computer Science; Mathematics; Gevrey asymptotic; asymptotique Gevrey; Écalle-Voronin invariant; composite asymptotic expansion; coordonnée de Fatou; développement asymptotique combiné; invariant d'Écalle-Voronin; Équation aux différences à petit pas; Difference equation with small step size; Fatou coordinate
• ISSN: 1638-5713; 1638-5713
• DOI: 10.46298/arima.1986

Difference equations in the complex domain of the form y(x+ϵ)−y(x)=ϵf(y(x))/y(x) are considered. The step size ϵ>0 is a small parameter, and the equation has a singularity at y=0. Solutions near the singularity are described using composite asymptotic expansions. More precisely, it is shown that the derivative v′ of the inverse function v of a solution (the so-called Fatou coordinate) admits a Gevrey asymptotic expansion in powers of the square root of ϵ, denoted by η, involving functions of y and of Y=y/η. This also yields Gevrey asymptotic expansions of the so-called Écalle-Voronin invariants of the equation which are functions of epsilon. An application coming from the theory of complex iteration is presented. On considère des équations aux différences dans le plan complexe de la forme y(x+ϵ)−y(x)=ϵf(y(x))/y(x). Le pas de discrétisation ϵ>0 est un petit paramètre, et l'équation a une singularité en y=0. On décrit les solutions près de la singularité en utilisant des développements asymptotiques combinés. Plus précisément, on montre que la dérivée v′ de la fonction réciproque (appelée coordonnée de Fatou) v d'une solution admet un développement asymptotique Gevrey en puissances de la racine carrée de ϵ, notée η, et faisant intervenir des fonctions de y et de Y=y/η. On obtient également des développements asymptotiques Gevrey des invariants d'Écalle-Voronin de l'équation, qui sont des fonctions de ϵ. Une application venant de la théorie de l'itération complexe est présentée.