Analysis and solution of the ill-posed inverse heat conduction problem

• Published in: International journal of heat and mass transfer Vol. 24; no. 11; pp. 1783 - 1792
• Main Author: Weber, Charles F.
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Ltd 01.01.1981
• Subjects: conduction; heat transfer; measurement; numerical analysis; temperature
• ISSN: 0017-9310; 1879-2189
• DOI: 10.1016/0017-9310(81)90144-7

The inverse conduction problem arises when experimental measurements are taken in the interior of a body, and it is desired to calculate temperature and heat flux values on the surface. The problem is shown to be ill-posed, as the solution exhibits unstable dependence on the given data functions. A special solution procedure is developed for the one-dimensional case which replaces the heat conduction equation with an approximating hyperbolic equation. If viewed from a new perspective, where the roles of the spatial and time variables are interchanged, then an initial value problem for the damped wave equation is obtained. Since the formulation is well-posed, both analytic and numerical solution procedures are readily available. Sample calculations confirm that this approach produces consistent, reliable results for both linear and nonlinear problems. Le problème inverse de la conduction se pose quand les mesures expériementales sont faites à l'intérieur du corps et qu'il est souhaité connaître la température et le flux thermique à la surface. On montre que le problème est mal posé car la solution révèle une dépendance instable des fonctions des données. Une procédure spéciale est développée pour le cas monodimensionnel et elle remplace l'équation de la conduction thermique par une équation hyperbolique approchante. Il est montré que si les rôles des variables de temps et d'espace sont interchangés on obtient un problème à valeur initiale pour l'équation d'onde amortie. Puisque cette formulation est bien posée, les procédures analytiques et numériques sont efficaces. Des exemples de calcul montrent que cette approche conduit à des résultats cohérents pour des problèmes linéaires ou nonlinéaires. Das inverse Problem der Wärmeleitung tritt auf, wenn experimentelle Messungen im Inneren eines Körpers vorliegen und die Werte von Temperatur und Wärmestrom auf der Oberfläche gesucht sind. Es wird gezeigt, daβ diese Aufgabe insofern schlecht konditioniert ist, als die Lösung eine instabile Abhängigkeit von den gegebenen Daten-Funktionen zeigt. Es wird ein spezielles Lösungsverfahren für den eindimensionalen Fall entwickelt, bei welchem die Wärmeleitungsgleichung durch eine approximierende hyperbolische Gleichung ersetzt wird. Aus der Sicht einer neuen Perspektive, bei der die Rollen der Raum- und der Zeitvariablen vertauscht sind, wird ein Anfangswertproblem für die gedämpfte Wellengleichung erhalten. Da diese Formulierung des Problems gut konditioniert ist, stehen sowohl analytische als auch numerische Lösungsverfahren dafür zur Verfügung. Beispielrechnungen bestätigen, daβ dieser Ansatz konsistente, verläβliche Ergebnisse für lineare und nichtlineare Probleme liefert. Oбpaтнaя зaдaчa тeплoпpoвoднocти вoзникaeт в тoм cлyчae, кoгдa пo экcпepимeнтaльным дaнным, зaмepeнным внyтpи тeлa, нeoбxoдимo paccчитaть тeмпepaтypy и плoтнocть тeплoвoгo пoтoкa нa пoвepxнocти. Пoкaзaнo, чтo тaкyю зaдaчy тpyднo cфopмyлиpoвaть кoppeктнo, тaк кaк peшeниe нeycтoйчивo зaвиcит oт зaдaнныx экcпepимeнтaльнo фyнкций. Пpeдлoзeн cпeциaльный мeтoд peшeния для oднoмepнoгo cлyчaя, в кoтopoм ypaвнeниe тeплoпpoвoднocти зaмeняeтcя aппpoкcимиpyющим eгo гипepбoличecким ypaвнeниeм. Ecли paccмaтpивaть зaдaчy пoд дpyгим yглoм зpeния, т. e. пoмeнять poлями пpocтpaнcтвeнныe и вpeмeнныe пepeмeнныe. тo мoзнo пoлyчить зaдaчy для ypaвнeния, oпиcывaющeгo зaтyxaющиe вoлны. B cвязи c тeм. чтo тaкaя фopмyлиpoвкa являeтcя кoppeктнoй, мoзнo лeгкo qpoлyчить aнaлитичecкoe и чиcлeннoe peшeния. Ha пpимepax пoкaзaнo, чтo тaкoй мeтoд дaeт coглacoвaнныe и нaдeзныe peзyльтaты пpи peшeнии кaк линeйныx, тaк и нeлинeйныx зaдaч.