On determining a Riemannian manifold from the Dirichlet-to-Neumann map

• Published in: Annales scientifiques de l'École normale supérieure Vol. 34; no. 5; pp. 771 - 787
• Main Authors: Lassas, Matti, Uhlmann, Gunther
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Paris Elsevier Masson SAS 01.10.2001; Elsevier
• Subjects: Differential geometry; Exact sciences and technology; Geometry; Mathematics; Sciences and techniques of general use; Riemann manifold; Dirac distribution; Open problem; Boundary condition; Harmonic function; Dirichlet to Neumann map; Cauchy problem; Inverse problem
• ISSN: 0012-9593; 1873-2151
• DOI: 10.1016/S0012-9593(01)01076-X

We study the inverse problem of determining a Riemannian manifold from the boundary data of harmonic functions. This problem arises in electrical impedance tomography, where one tries to find an unknown conductivity inside a given body from voltage and current measurements made at the boundary of the body. We show that one can reconstruct the conformal class of a smooth, compact Riemannian surface with boundary from the set of Cauchy data, given on a non-empty open subset of the boundary, of all harmonic functions. Also, we show that one can reconstruct in dimension n⩾3 compact real-analytic manifolds with boundary from the same information. We make no assumptions on the topology of the manifold other than connectedness. On étudie la détermination d'une variété riemannienne à partir des valeurs au bord de ses fonctions harmoniques. Ce problème apparaı̂t dans la tomographie d'impédance électrique, dont le but est de trouver une conductivité inconnue dans un corps à partir des mesures de voltage et de courant sur la frontière de ce corps. On démontre que la classe conforme d'une surface de Riemann compacte lisse peut être reconstruite à partir des données de Cauchy de toutes les applications harmoniques sur un sous-ensemble non vide et ouvert de la frontière. On démontre aussi qu'en dimension n⩾3 les variétés compactes analytiques avec bord peuvent être reconstruites à partir de la même information. La seule hypothèse topologique sur les variétés est qu'elles sont connexes.