Functions of bounded variation on “good” metric spaces

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 82; no. 8; pp. 975 - 1004
• Main Author: Miranda, Michele
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier SAS 01.08.2003
• Subjects: BV-functions; Coarea formula; Doubling metric spaces; Coarea formula; Doubling metric spaces; BV-functions
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/S0021-7824(03)00036-9

In this paper we give a natural definition of Banach space valued BV functions defined on complete metric spaces endowed with a doubling measure (for the sake of simplicity we will say doubling metric spaces) supporting a Poincaré inequality (see Definition 2.5 below). The definition is given starting from Lipschitz functions and taking closure with respect to a suitable convergence; more precisely, we define a total variation functional for every Lipschitz function; then we take the lower semicontinuous envelope with respect to the L 1 topology and define the BV space as the domain of finiteness of the envelope. The main problem of this definition is the proof that the total variation of any BV function is a measure; the techniques used to prove this fact are typical of Γ-convergence and relaxation. In Section 4 we define the sets of finite perimeter, obtaining a Coarea formula and an Isoperimetric inequality. In the last section of this paper we also compare our definition of BV functions with some definitions already existing in particular classes of doubling metric spaces, such as Weighted spaces, Ahlfors-regular spaces and Carnot–Carathéodory spaces. Dans cet article on trouve une définition bien naturelle de la variation bornée pour les fonctions à valeurs dans un espace de Banach, ayant comme domaine un espace métrique complet. On suppose l'espace métrique muni d'une mesure de doublement, vérifiant une inégalité de Poincaré (v. la Définition 2.5, ci-dessous). La définition utilise le complété des fontions lipschitziennes suivant une convergence convenable. On commence par définir une fontionnelle « variation totale » pour toute fonction lipschitzienne. Puis, on considère l'enveloppe inférieurement semicontinue, selon la topologie L 1 et on définit l'espace BV comme le domaine de finitude de l'enveloppe. Le problème principal de cette définition, est de prouver que la variation totale de chaque fonction est une mesure. A ce propos, on utilise les techniques typiques de la Gamma-convergence et de la relaxation. Dans la Section 4 on trouve les ensembles de périmètre fini, on prouve une formule de coaire et une inégalité isopérimétrique. Dans la Section finale, on établit une comparaison entre les nouvelles définitions et les définitions désormais classiques, données dans les espaces ponderés, les espaces de Ahlfors et de Carnot–Carathéodory.