Controllability and positivity constraints in population dynamics with age structuring and diffusion

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 129; pp. 153 - 179
• Main Authors: Maity, Debayan, Tucsnak, Marius, Zuazua, Enrique
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Masson SAS 01.09.2019; Elsevier
• Subjects: Analysis of PDEs; Controllability with positivity constraints; Mathematics; Null controllability; Optimization and Control; Population dynamics; 93B03; Controllability with positivity constraints; Population dynamics; 92D25; Null controllability; 93B05
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2018.12.006

In this article, we study the null controllability of a linear system coming from a population dynamics model with age structuring and spatial diffusion (of Lotka–McKendrick type). The control is localized in the space variable as well as with respect to the age. The first novelty we bring in is that the age interval in which the control needs to be active can be arbitrarily small and does not need to contain a neighbourhood of 0. The second one is that we prove that the whole population can be steered into zero in a uniform time, without, as in the existing literature, excluding some interval of low ages. Moreover, we improve the existing estimates of the controllability time and we show that our estimates are sharp, at least when the control is active for very low ages. Finally, we show that the system can be steered between two positive steady states by controls preserving the positivity of the state trajectory. The method of proof, combining final-state observability estimates with the use of characteristics and with L∞ estimates of the associated semigroup, avoids the explicit use of parabolic Carleman estimates. Dans cet article, nous étudions la contrôlabilité à zéro d'un système linéaire, issu de la dynamique des populations, de type Lotka–McKendrick, avec structuration en âge et diffusion. Le contrôle est localisé en espace et par rapport à l'âge. La première nouveauté que nous apportons est que l'intervalle d'âges où le contrôle est actif peut être arbitrairement petit et qu'il ne contient pas nécessairement l'origine. La deuxième nouveauté est de prouver que toute la population peut être ramenée à zéro en temps uniforme, sans exclure, comme dans les travaux précédents, un intervalle contenant l'origine. De plus, nous améliorons les estimations du temps de contrôlabilité et nous montrons que nos nouvelles estimations sont optimales, au moins lorsque le contrôle est actif pour des âges proches de zéro. Finalement, nous montrons l'existence de contrôles permettant de joindre deux états stationnaires positifs en respectant à tout instant la contrainte de positivité de l'état. La méthode utilisée combine de résultats connus pour l'observabilité de l'état final avec l'utilisation de caractéristiques et des estimations L∞ du semi-groupe associé, en évitant l'utilisation explicite des estimations de Carleman.