Existence of a solution for a nonlinearly elastic plane membrane “under tension”

• Published in: ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis Vol. 33; no. 5; pp. 1019 - 1032
• Main Author: Coutand, Daniel
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Les Ulis EDP Sciences 01.09.1999
• Subjects: 35B40; 35J55; 73C50; asymptotic behaviour of solutions of nonlinear systems of partial differential equations; Classical and quantum physics: mechanics and fields; Classical mechanics of continuous media: general mathematical aspects; Elasticity, plasticity: general mathematical aspects; Exact sciences and technology; implicit function theorem; Mathematical analysis; Mathematics; Nonlinear membrane; Partial differential equations; Physics; Sciences and techniques of general use; Diffeomorphism; Nonlinear equations; Existence theorem; Partial differential equations; Critical points; Asymptotic behavior; Bochner integral; Two dimensional model; Nonlinear membrane; Non linear operator; Equation system; Ellipticity; Three dimensional model; Banach algebra; Asymptotic expansion; Plane elasticity; Banach contraction principle; Radon Nikodym property; Boundary-value problems; Implicit function theorem
• ISSN: 0764-583X; 1290-3841
• DOI: 10.1051/m2an:1999132

A justification of the two-dimensional nonlinear “membrane” equations for a plate made of a Saint Venant-Kirchhoff material has been given by Fox et al. [9] by means of the method of formal asymptotic expansions applied to the three-dimensional equations of nonlinear elasticity. This model, which retains the material-frame indifference of the original three dimensional problem in the sense that its energy density is invariant under the rotations of ${\mathbb{R}}^3$, is equivalent to finding the critical points of a functional whose nonlinear part depends on the first fundamental form of the unknown deformed surface. We establish here an existence result for these equations in the case of the membrane submitted to a boundary condition of “tension”, and we show that the solution found in our analysis is injective and is the unique minimizer of the nonlinear membrane functional, which is not sequentially weakly lower semi-continuous. We also analyze the behaviour of the membrane when the “tension” goes to infinity and we conclude that a “well-extended” membrane may undergo large loadings. Une justification des équations bidimensionnelles non linéaires “en membrane”d'une plaque constituée d'un matériau de Saint Venant-Kirchhoff a été fournie par Fox et al. [9] par la méthode des développements asymptotiques formels appliquée aux équations de l'élasticité tridimensionnelle non linéaire. Ce modèle, qui conserve la propriété d'indifférence matérielle du problème tridimensionnel non linéaire en ce sens que sa densité d'énergie est invariante par les rotations de ${\mathbb{R}}^3$, s'écrit sous la forme d'un problème de point critique pour une fonctionnelle dont la partie non linéaire dépend de la première forme fondamentale de la surface déformée inconnue. On établit ici un résultat d'existence pour ces équations dans le cas d'une plaque membranaire soumise à une condition au bord de “tension”, et on montre que la solution mise en évidence par notre analyse est injective et est l'unique minimiseur de la fonctionnelle membranaire non linéaire, qui n'est pas faiblement séquentiellement semi-continue inférieurement. L'analyse du comportement de la membrane lorsque la “tension” tend vers l'infini nous permet de conclure qu'une membrane convenablement “étirée” est en mesure de supporter des forces importantes.