Rigidity of Furstenberg entropy for semisimple Lie group actions

• Published in: Annales scientifiques de l'École normale supérieure Vol. 33; no. 3; pp. 321 - 343
• Main Authors: Nevo, Amos, Zimmer, Robert J
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Paris Elsevier Masson SAS 01.05.2000; Elsevier
• Subjects: Entropy; Exact sciences and technology; Furstenberg boundary; Group theory; Manifolds and cell complexes; Mathematical analysis; Mathematics; Measure and integration; Mixing ergodic actions; Operator theory; Parabolic subgroups; Radon–Nikodym derivative cocycle; Sciences and techniques of general use; Semi-simple Lie groups; Stationary measure; Topological groups, lie groups; Topology. Manifolds and cell complexes. Global analysis and analysis on manifolds; 60J50; Stationary measure; 57S20; Entropy; Parabolic subgroups; Mixing ergodic actions; Semi-simple Lie groups; Furstenberg boundary; 47A35; 22D40; 28D15; 58E40; Radon–Nikodym derivative cocycle; Group action; Lie group; Cohomology; Semisimple group
• ISSN: 0012-9593; 1873-2151
• DOI: 10.1016/S0012-9593(00)00113-0

We consider the action of a semi-simple Lie group G on a compact manifold (and more generally a Borel space) X , with a measure ν stationary under a probability measure μ on G . We first establish some properties of the fundamental invariant associated with a ( G, μ) -space ( X, ν) , namely the Furstenberg entropy [? ], given by h μ(X,ν)= ∫ G ∫ X − log dg −1ν dν (x) dν(x) dμ(g). We then prove that when ( X, ν) is a P -mixing ( G, μ) -space [? ], and R -rank ( G)= r≥2 , the value of the Furstenberg entropy must coincide with one of the 2 r values h μ ( G/ Q, ν 0) , where Q⊂ G is a parabolic subgroup. We also construct counterexamples to show that this conclusion fails for both non- P -mixing actions and actions of groups with R -rank 1 . We also characterize amenable actions with a stationary measure as the actions having the maximal possible value of the Furstenberg entropy. We give applications to geometric rigidity for actions with low Furstenberg entropy, to orbit equivalence and to the cohomology of actions with stationary measure. Nous considérons l'action d'un groupe de Lie semi-simple G sur une variété compacte, et plus généralement sur un espace borélien X muni d'une mesure ν qu'on suppose μ -stationnaire par rapport à une mesure de probabilité μ sur G . Nous établissons tout d'abord certaines propriétés de l'invariant fondamental associé à un ( G, μ) -espace ( X, ν) , l'entropie de Furstenberg [? ], donnée par h μ(X,ν)= ∫ G ∫ X − log dg −1ν dν (x) dν(x) dμ(g). Nous prouvons alors que, lorsque ( X, ν) est un ( G, μ) -espace P mélangeant, [? ] dont le R -rang est r≥2 , la valeur de l'entropie de Furstenberg doit coı̈ncider avec une des 2 r valeurs h μ ( G/ Q, ν 0) , où Q est un sous-groupe parabolique de G . Nous construisons aussi des contre-exemples qui montrent que cette conclusion est fausse dans le cas d'actions non P -mélangeantes et d'actions de groupes dont le R -rang vaut 1 . Nous caractérisons aussi les actions moyennables avec mesure stationnaire en prouvant que ce sont les actions ayant une entropie de Furstenberg maximale. Nous donnons des applications à la rigidité géométrique pour des actions à faible entropie de Furstenberg, à l'équivalence d'orbites et à la cohomologie des actions à mesure stationnaire.