Koebe sets for certain classes of circularly symmetric functions

• Published in: Comptes rendus. Mathématique Vol. 354; no. 3; pp. 245 - 252
• Main Author: Zaprawa, Paweł
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Masson SAS 01.03.2016
• ISSN: 1631-073X; 1778-3569; 1778-3569
• DOI: 10.1016/j.crma.2015.12.016

A function f analytic in Δ≡{ζ∈C:|ζ|<1}, normalized by f(0)=f′(0)−1=0, is said to be circularly symmetric if the intersection of the set f(Δ) and a circle {ζ∈C:|ζ|=ϱ} has one of three forms: the empty set, the whole circle, an arc of the circle which is symmetric with respect to the real axis and contains ϱ. By X we denote the class of all circularly symmetric functions, and by Y the subclass of X consisting of univalent functions. The main concern of the paper is to determine two Koebe sets: for the class Y∩K(i) of circularly symmetric functions that are convex in the direction of the imaginary axis and for the class Y∩S⁎ of circularly symmetric and starlike functions, i.e. sets of the form KY∩K(i)=⋂f∈Y∩K(i)f(Δ) and KY∩S⁎=⋂f∈Y∩S⁎f(Δ). In the last section of the paper, we consider a similar problem for the class Y∩S⁎∩K(i). Une fonction f analytique dans Δ≡{ζ∈C:|ζ|<1}, normalisée par f(0)=f′(0)−1=0, est dite circulairement symétrique si l'intersection de l'ensemble f(Δ) et d'un cercle {ζ∈C:|ζ|=ρ} est, soit l'ensemble vide, soit le cercle complet, soit un arc de cercle symétrique par rapport à l'axe réel et contenant ρ. Nous notons X la classe des fonctions circulairement symétriques et Y la sous-classe de X des fonctions univalentes. L'objet de cette Note est de déterminer les ensembles de Koebe pour la classe Y∩K(i) des fonctions circulairement symétriques qui sont convexes dans la direction de l'axe imaginaire et pour la classe Y∩S⁎ des fonctions circulairement symétriques qui sont étoilées, c'est-à-dire de déterminer les ensembles KY∩K(i)=⋂f∈Y∩K(i)f(Δ) et KY∩S⁎=⋂f∈Y∩S⁎f(Δ). Dans la dernière section, nous considérons ce problème pour la sous-classe Y∩S⁎∩K(i).