Relations among arithmetical functions, automatic sequences, and sum of digits functions induced by certain Gray codes

• Published in: Journal de theorie des nombres de bordeaux Vol. 24; no. 2; pp. 307 - 337
• Main Authors: KAMIYA, Yuichi, MURATA, Leo
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Talence Institut de mathématiques de Bordeaux 01.01.2012; Université de Bordeaux 1, laboratoire de mathématiques pures
• Subjects: Algebra; Automata; Binary codes; Coding theory; Exact sciences and technology; Integers; Mathematical functions; Mathematical theorems; Mathematics; Mellin transforms; Number theoretic functions; Number theory; Periodic functions; Periodicity; Sciences and techniques of general use; France; Somme; Picardie; Europe; Gray code; Automaton; Permutation; Ensemble; Analytical method; Dirichlet series; Binary code; Number theory; Automatic
• ISSN: 1246-7405; 2118-8572
• DOI: 10.5802/jtnb.798

Dans l'étude de la somme des chiffres S₂ en base deux, la fonction arithmétique u définie par u(0) = 0 et u(n) = (–1)n-1 pour n ≥ 1 joue un rôle de première importance. Dans cet article, nous commençons par généraliser la relation entre S₂ et u en introduisant une premutation sur l'ensemble des suites à valeurs complexes, nulles en 0. Comme application, certaines relations impliquant la fonction somme des chiffres SG associée à un code binaire infini G de type Gray sont mises en vidence. En particulier nous montrons que la différence n ↦ SG(n) – SG(n – 1) s'obtient par un automate. La formule sommatoire de P. Flajolet et L. Ramshaw pour la somme des chiffres associée au classique code refléchi de Gray est aussi généralisée. La méthode est analytique ; elle utilise la tranformée de Mellin et la formule de Perron pour les séries de Dirichlet. In the study of the 2-adic sum of digits function S₂(n), the arithmetical function u(0) = 0 and u(n) = (–1)n-1 for n ≥ 1 plays a very important role. In this paper, we firstly generalize the relation between S₂(n) and u(n) to a bijective relation between arithmetical functions. And as an application, we investigate some aspects of the sum of digits functions SG(n) induced by binary infinite Gray codes G. We can show that the difference of the sum of digits function, SG(n) – SG(n – 1), is realized by an automaton. And the summation formula of the sum of digits function for reflected binary code, proved by P. Flajolet and L. Ramshaw, is also generalized. Here we use analytic tools such as Mellin transform and Perron's formula for Dirichlet series.