Einstein manifolds with convex boundaries

• Published in: Commentarii mathematici Helvetici Vol. 76; no. 1; pp. 1 - 28
• Main Author: Schlenker, Jean-Marc
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Zuerich, Switzerland European Mathematical Society Publishing House 01.01.2001
• Subjects: Manifolds and cell complexes; Einstein manifolds; convex; boundary; umbilic; surface; isometric embeddings
• ISSN: 0010-2571; 1420-8946
• DOI: 10.1007/s000140050148

Let $ ({\rm M, \partial M}) $ be a compact m+1-manifold with boundary with an Einstein metric g0, with ricg0 = --mg0 and with pinched negative curvature, such that $ \partial {\rm M} $ is convex and umbilical. Let h0 be the induced metric on $ \partial {\rm M} $. Then any metric close enough to h0 is induced on $ \partial {\rm M} $ by an Einstein metric g with ricg = --mg on M. A similar (but slightly weaker) result applies to Ricci-flat manifolds.¶¶ Résumé. Soit $ ({\rm M, \partial M}) $ und m+1-variété compacte à bord, munie d'une métrique d'Einstein g0, avec ricg0 = --mg0 et à courbure négative pincée, telle que $ \partial {\rm M} $ est convexe et ombilique. Soit h0 la métrique induite sur $ \partial {\rm M} $. Alors toute métrique susamment proche de h0 est induite sur $ \partial {\rm M} $ par une métrique d'Einstein g avec ricg0 = --mg sur M. Un résultat similaire (un peu plus faible) s'applique aux variétés Ricci-plates.