On moduli spaces of polarized Enriques surfaces

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 144; pp. 106 - 136
• Main Author: Knutsen, Andreas Leopold
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Masson SAS 01.12.2020
• Subjects: Degenerations; Enriques surfaces; Hilbert schemes; Moduli spaces; Moduli spaces; 14C20; 14J28; Enriques surfaces; Degenerations; 14D06; 14J10; 14C05; Hilbert schemes
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2020.10.003

We prove that, for any g≥2, the étale double cover ρg:Eg→Eˆg from the moduli space Eg of complex polarized genus g Enriques surfaces to the moduli space Eˆg of numerically polarized genus g Enriques surfaces is disconnected precisely over irreducible components of Eˆg parametrizing 2-divisible classes, answering a question of Gritsenko and Hulek [13]. We characterize all irreducible components of Eg in terms of a new invariant of line bundles on Enriques surfaces that generalizes the ϕ-invariant introduced by Cossec [8]. In particular, we get a one-to-one correspondence between the irreducible components of Eg and 11-tuples of integers satisfying particular conditions. This makes it possible, in principle, to list all irreducible components of Eg for each g≥2. On démontre que, pour tout g≥2, le revêtement double étale ρg:Eg→Eˆg de l'espace de modules Eg des surfaces d'Enriques complexes polarisées de genre g vers l'espace de modules Eˆg des surfaces d'Enriques complexes numériquement polarisées de genre g est non connexe exactement sur les composantes irréductibles de Eˆg qui paramétrisent des classes 2-divisibles, répondant ainsi à une question de Gritsenko et Hulek [13]. On caractérise toutes les composantes irréductibles de Eg en utilisant un nouvel invariant des fibrés en droites sur les surfaces d'Enriques qui généralise l'invariant ϕ introduit par Cossec [8]. Notamment on obtient une correspondance biunivoque entre les composantes irréductibles de Eg et les n-uplets de nombres entiers satisfaisant des conditions particulières. Cela rend possible, en principe, une classification complète de toutes les composantes irréductibles de Eg pur tout g≥2.