Pointwise bounds and blow-up for nonlinear fractional parabolic inequalities

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 133; pp. 287 - 328
• Main Author: Taliaferro, Steven D.
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Masson SAS 01.01.2020
• Subjects: Blow-up; Fractional heat operator; Parabolic; Pointwise bounds; Fractional heat operator; Parabolic; Pointwise bounds; 35B45; 35B33; 35B44; 35R11; 35R45; 35K58; 35B09; Blow-up
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2019.05.012

We investigate pointwise upper bounds for nonnegative solutions u(x,t) of the nonlinear initial value problem(0.1)0≤(∂t−Δ)αu≤uλ in Rn×R,n≥1,(0.2)u=0in Rn×(−∞,0) where λ and α are positive constants. To do this we first give a definition—tailored for our study of (0.1), (0.2)—of fractional powers of the heat operator (∂t−Δ)α:Y→X where X and Y are linear spaces whose elements are real valued functions on Rn×R and 0<α<α0 for some α0 which depends on n, X and Y. We then obtain, when they exist, optimal pointwise upper bounds on Rn×(0,∞) for nonnegative solutions u∈Y of the initial value problem (0.1), (0.2) with particular emphasis on those bounds as t→0+ and as t→∞. Nous étudions des majorations ponctuelles pour les solutions positives u(x,t) du problème de valeurs initiales(0.3)0≤(∂t−Δ)αu≤uλ dans Rn×R,n≥1,(0.4)u=0dans Rn×(−∞,0) où λ et α sont des constantes strictement positives. Pour ce faire nous donnons tout d'abord une définition–adaptée à notre étude de (0.3), (0.4)—des puissances fractionnaires de l'opérateur de la chaleur (∂t−Δ)α:Y→X ou X et Y sont des espaces vectoriels don't les éléments sont des fonctions à valeurs réelles sur Rn×R et 0<α<α0 pour α0 dépendant de n, X et Y. Nous obtenons ensuite, lorsqu'elles existent, des majorations ponctuelles optimales sur Rn×(0,∞) pour les solutions positives u∈Y du problème de valeurs initiales (0.3), (0.4), et un soin tout particulier est porté à ces majorations lorsque t→0+ et lorsque t→∞.