Chains in 3D Filippov systems: A chaotic phenomenon

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 159; pp. 168 - 195
• Main Authors: Gomide, Otávio M.L., Teixeira, Marco A.
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Masson SAS 01.03.2022
• Subjects: Filippov system; Homoclinic connection; Smale horseshoe; T-singularity; 34C37; Smale horseshoe; Homoclinic connection; 34A36; 34C45; 37G20; T-singularity; Filippov system
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2021.12.002

This work is devoted to the study of global connections between typical generic singularities, named T-singularities, in piecewise smooth dynamical systems. Such a singularity presents the so-called nonsmooth diabolo, which consists on a pair of invariant cones emanating from it. We analyze global features arising from the communication between the branches of a nonsmooth diabolo of a T-singularity and we prove that, under generic conditions, such communication leads to a chaotic behavior of the system. More specifically, we relate crossing orbits of a Filippov system presenting certain crossing self-connections to a T-singularity, with a Smale horseshoe of a first return map associated to the system. The techniques used in this work rely on the detection of transverse intersections between invariant manifolds of a hyperbolic fixed point of saddle type of such a first return map and the analysis of the Smale horseshoe associated to it. From the specific case discussed in our approach, we present a robust chaotic phenomenon for which its counterpart in the smooth case seems to happen only for highly degenerate systems. Ce travail est consacré à l'étude des connexions globales entre des singularités génériques typiques, appelées T-singularités, dans une classe naturelle de systèmes 3D lisses par morceaux, connus comme les systèmes de Filippov. Une telle singularité correspond à un diabolo dit non lisse, constitué d'une paire de cônes invariants qui en émanent. Nous analysons les caractéristiques globales résultant de la liaison entre les branches du diabolo non lisse d'une T-singularité et montrons que, sous conditions génériques, un tel lien conduit à un comportement chaotique du système. Dans l'article, il est proposé de confronter les théories des systèmes lisses uniformément hyperboliques et des systèmes lisses par morceaux en montrant que des fers à cheval de Smale peuvent être trouvés. Les techniques utilisées dans ce travail sont basées sur la détection de certaines sections appropriées entre variétés invariantes d'un point fixe hyperbolique de type selle associé à une fonction premier retour. Nous présentons un phénomène chaotique robuste pour lequel son homologue dans le cas lisse semble se produire uniquement pour les systèmes hautement dégénérés.