D-PANA: a convergent block-relaxation solution method for the discretized dual formulation of the Signorini–Coulomb contact problem

• Published in: Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I. Mathématique Vol. 333; no. 11; pp. 1053 - 1058
• Main Authors: Bisegna, Paolo, Lebon, Frédéric, Maceri, Franco
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Paris Elsevier B.V 01.12.2001; Elsevier
• Subjects: Algebra; Exact sciences and technology; Fundamental areas of phenomenology (including applications); Linear and multilinear algebra, matrix theory; Mathematics; Mechanical contact (friction...); Numerical analysis; Numerical analysis. Scientific computation; Numerical linear algebra; Physics; Sciences and techniques of general use; Solid mechanics; Structural and continuum mechanics; Discrete problem; Signorini problem; Signorini Coulomb problem; Friction coefficient; Relaxation method; Well posed problem; Algorithm; Gauss Seidel method; Contact; Convergence
• ISSN: 0764-4442
• DOI: 10.1016/S0764-4442(01)02153-X

Signorini's law of unilateral contact and Coulomb's friction law constitute a simple and useful framework for the analysis of unilateral frictional contact problems of a linearly elastic body with a rigid support. For quasi-static, monotone-loadings, the discrete dual formulation of this problem leads to a quasi-variational inequality, whose unknowns, after condensation, are the normal and tangential contact forces at nodes of the initial contact area. A new block-relaxation solution technique is proposed here. At the typical iteration step, shown to be a contraction for small friction coefficients, two quadratic programming problems are solved one after the other: the former is a friction problem with given normal forces, the latter is a unilateral contact problem with prescribed tangential forces. The contraction principle is used to establish the well-posedness of the discrete formulation, to prove the convergence of the algorithm, and to obtain an estimate of the convergence rate. Les lois de Signorini et de Coulomb donnent un cadre à la fois simple et clair pour décrire le contact unilatéral avec frottement d'un solide linéairement élastique avec un obstacle rigide. Dans le cas quasi-statique de chargement monotone, la formulation discrète duale d'un tel problème peut s'écrire sous la forme d'une inéquation quasi variationelle dont les inconnues sont, après condensation, les composantes normales et tangentielles des réactions nodales de l'ensemble des points en contact initial. Une méthode nouvelle de relaxation par blocs est proposée : à chaque itération, deux sous-problèmes de programmation quadratique sont résolus, dont le premier est un problème de frottement avec contrainte normale donnée et le deuxième est un problème de contact unilatéral avec contrainte tangentielle donnée. La convergence de l'algorithme et une estimation de la vitesse de convergence suivent, pour un coefficient de frottement petit, de l'application du principe de contraction.