Kneser's theorem for upper Banach density

• Published in: Journal de theorie des nombres de bordeaux Vol. 18; no. 2; pp. 323 - 343
• Main Authors: BIHANI, Prerna, JIN, Renling
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Talence Institut de mathématiques de Bordeaux 01.01.2006; Université de Bordeaux 1, laboratoire de mathématiques pures
• Subjects: Algebra; Arithmetic; Cardinality; Equivalence relation; Ergodic theory; Exact sciences and technology; Integers; Inverse problems; Mathematical functions; Mathematical theorems; Mathematics; Nonstandard analysis; Number theory; Real numbers; Sciences and techniques of general use; Integer; Banach density; Kneser's theorem; Number theory
• ISSN: 1246-7405; 2118-8572
• DOI: 10.5802/jtnb.547

Supposons que A soit un ensemble d'entiers non negatifs avec densité de Banach supérieure α (voir définition plus has) et que la densité de Banach supérieure de A + A soit inférieure à 2a. Nous caractérisons la structure de A + A en démontrant la proposition suivante: il existe un entier positif g et un ensemble W qui est l'union des [2αg — 1] suites arithmétiques¹ avec la même différence g tels que A + A $ \subseteq $ W et si [an, bn] est, pour chaque n, un intervalle d'entiers tel que bn — an → ∞ et la densité relative de A dans [an, bn] approche a, il existe alors un intervalle [cn, dn] $ \subseteq $ [an, bn] pour chaque n tel que (dn -Cn)/(bn -an) → 1 et (A + A) ∩ [2cn, 2dn] = W ∩ [2cn, 2dn]. Suppose A is a set of non-negative integers with upper Banach density α (see definition below) and the upper Banach density of A + A is less than 2α. We characterize the structure of A+ A by showing the following: There is a positive integer g and a set W, which is the union of [2αg—1] arithmetic sequences¹ with the same difference g such that A + A $ \subseteq $ W and if [an, bn] for each n is an interval of integers such that bn — an → ∞ and the relative density of A in [an, bn] approaches α, then there is an interval [cn, dn] ⊆ [an, bn] for each n such that (dn - cn)/(bn - an) → 1 and (A + A) ∩ [2cn, 2dn] = W ∩ [2cn, 2dn].