Rotation fields and the fundamental theorem of Riemannian geometry in R 3

• Published in: Comptes rendus. Mathématique Vol. 343; no. 6; pp. 415 - 421
• Main Authors: Ciarlet, Philippe G., Gratie, Liliana, Iosifescu, Oana, Mardare, Cristinel, Vallée, Claude
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier SAS 15.09.2006; Académie des sciences (Paris)
• Subjects: Differential Geometry; Mathematics; Isommetric immersions; polar factorization of the gradient
• ISSN: 1631-073X; 1778-3569; 1778-3569
• DOI: 10.1016/j.crma.2006.08.007

Let Ω be a simply-connected open subset of R 3 . We show in this Note that, if a smooth enough field U of symmetric and positive-definite matrices of order three satisfies the compatibility relation (due to C. Vallée) CURL Λ + COF Λ = 0 in  Ω , where the matrix field Λ is defined in terms of the field U by Λ = 1 det U { U ( CURL U ) T U − 1 2 ( tr [ U ( CURL U ) T ] ) U } , then there exists, typically in spaces such as W loc 2 , ∞ ( Ω ; R 3 ) or C 2 ( Ω ; R 3 ) , an immersion Θ : Ω → R 3 such that U 2 = ∇ Θ T ∇ Θ in Ω. In this approach, one directly seeks the polar factorization ∇ Θ = RU of the gradient of the unknown immersion Θ in terms of a rotation R and a pure stretch U. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006). R 3 . Soit Ω un ouvert simplement connexe de R 3 . On montre dans cette Note que, si un champ suffisamment régulier U de matrices symétriques définies positives d'ordre trois satisfait la relation de compatibilité (due à C. Vallée) CURL Λ + COF Λ = 0 dans Ω , où le champ Λ de matrices est défini en fonction du champ U par Λ = 1 det U { U ( CURL U ) T U − 1 2 ( tr [ U ( CURL U ) T ] ) U } , alors il existe, typiquement dans des espaces tels que W loc 2 , ∞ ( Ω ; R 3 ) ou C 2 ( Ω ; R 3 ) , une immersion Θ : Ω → R 3 telle que U 2 = ∇ Θ T ∇ Θ in Ω. Dans cette approche, on cherche à identifier directement la factorisation polaire ∇ Θ = RU du gradient de l'immersion inconnue Θ en une rotation R et une extension pure U = C 1 / 2 . Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).