Estimates of maximal functions measuring local smoothness

• Published in: Analysis mathematica (Budapest) Vol. 25; no. 1; pp. 277 - 300
• Main Authors: Kolyada, V. I., Коляда, В. И.
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Heidelberg Springer Nature B.V 1999
• Subjects: Cubes; Estimates; Smoothness
• ISSN: 0133-3852; 1588-273X
• DOI: 10.1007/BF02908442

Letη be a nondecreasing function on (0, 1] such thatη(t)/t decreases andη(+0)=0. Letf ∈L(In) (I≡[0,1]. Set, where the supremum is taken over all cubes containing the pointx. Forη=tα (0<α≤1) this definition was given by A.Calderón.In the paper we prove estimates of the maximal functions, along with some embedding theorems. In particular, we prove the following Sobolev type inequality: if, then. Furthermore, we obtain estimates of in terms of theLp-modulus of continuity off. We find sharp conditions for to belong toLp(In) and the Orlicz classϕ(L), too.Пустьη-неубываюшая функция на (0,1] такая, чтоη(t)/t убывает иη(+0)=0. Пустьf ∈L(In) (I≡[0,1]). Положим где верхняя грань берется по всем кубам, содержашим точкуx. Дляη=tα (0<α<1) Это определение было дано А. Кальдероном.В статье иэучаются оценки максимальных функций, а также некоторые теоремы вложения. Докаэываются неравенства типа Соболева: если, то Далее, получены оценки в терминахLp-модуля непрерывностиf. Найдены точные условия для принадлежности пространствамLq(In) и классамϕ(L).