MINORATION DE LA HAUTEUR NORMALISÉE DANS UN TORE

• Published in: Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu Vol. 2; no. 3; pp. 335 - 381
• Main Authors: Amoroso, Francesco, David, Sinnou
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Cambridge, UK Cambridge University Press 01.07.2003
• Subjects: groupe multiplicatif; diophantine geometry; normalized height; géométrie diophantienne; hauteur normalisée; multiplicative group
• ISSN: 1474-7480; 1475-3030
• DOI: 10.1017/S1474748003000094

Nous démontrons une nouvelle minoration de la hauteur normalisée d’une sous-variété algébrique d’un tore multiplicatif (et par conséquent des petits points d’une telle sous-variété). Si dans le cas torique, une preuve effective de la conjecture de Bogomolov généralisée était déjà connue ainsi que des estimations “pluri-exponentielles” en le degré de la variété (Schmidt et Bombieri–Zannier), puis monomiales inverses (par le deuxième auteur et Philippon), notre approche qui est entièrement nouvelle, permet de démontrer à un $\varepsilon$-près les conjectures les plus précises (en fonction du degré) que l’on peut formuler dans ce cadre. On obtient ainsi pour ce problème l’exact analogue de ce que l’on sait obtenir dans le cadre du problème de Lehmer. Enfin, nous démontrons pour les sous-variétés de codimension au moins 2 une conjecture du deuxième auteur et Philippon. We prove a new lower bound for the normalized height of subvarieties of a multiplicative torus (and thus for the small points of such a subvariety). Effective proofs of the so-called generalized Bogomolov conjecture were already known. Schmidt and Bombieri–Zannier gave first a ‘pluri-exponential’ lower bound in terms of the degree, which the second author and Philippon brought down to an inverse monomial using a different approach. Our proof is entirely new in its principle and proves up to an$\varepsilon$ the sharpest conjectures that can be fomulated in terms of the degree of the variety studied. We thus obtain for this problem the exact analogue of what is already known for the Lehmer problem. Finally, we prove a conjecture of the second author and Philippon for subvarieties of codimension at least 2. AMS 2000 Mathematics subject classification: Primary 11G10; 11J81; 14G40