Minoration du temps d’existence pour l’équation de Klein-Gordon non-linéaire en dimension 1 d’espace

• Published in: Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse non linéaire Vol. 16; no. 5; pp. 563 - 591
• Main Author: Delort, J.-M.
• Format: Journal Article
• Language: French
• Published: Paris Elsevier Masson SAS 01.10.1999; Elsevier
• Subjects: Equations d'onde relativistes; Generalites; Mécanique quantique; Méthodes analytiques fonctionnelles; Physique; Physiques classique et quantique: mécanique et champs; Sciences exactes et technologie; Théories semi-classiques et applications; Espace Sobolev; Equation Klein Gordon; Unicité solution; Solution asymptotique; Solution approchee; Donnée Cauchy; Mécanique quantique; Equation dérivée partielle; Equation non linéaire; Forme quadratique; Minoration; Modèle 1 dimension; Théorème existence; Opérateur linéaire; Temps existence; Comportement asymptotique
• ISSN: 0294-1449; 1873-1430
• DOI: 10.1016/S0294-1449(99)80028-6

Soit u la solution de l’équation de Klein-Gordon semi-linéaire en dimension 1 d’espace ∂2tu−∂2xu+u=F(u,∂tu,∂xu) avec une nonlinéarité F quadratique et des données de Cauchy petites, C∞ à support compact, u|t=0 = ϵu0, ∂tu|t=0 = ϵu1. Moriyama, Tonegawa et Tsutsumi ont montré que le temps d’existence Tϵ de la solution vérifie alors lim infϵ→0ϵ2 log Tϵ > 0. Le but de cet article est de montrer que lim infϵ→0ϵ2 log Tϵ ≥ A, où A est une constante explicite s’exprimant en fonction de u0, u1 et de la nonlinéarité. Let u be a solution to the semilinear Klein-Gordon equation in one space dimension ∂2tu−∂2xu+u=F(u,∂tu,∂xu) where F is a quadratic nonlinearity and the Cauchy data u|t=0 = ϵu0, ∂tu|t=0 = ϵu1 are small in C0∞. Moriyama, Tonegawa and Tsutsumi have shown that the time of existence of the solution satisfies lim infϵ→0ϵ2 log Tϵ ≥ 0. The aim of this paper is to prove that lim infϵ→0ϵ2 log Tϵ ≥ A for a constant A which can be explicitly computed from the Cauchy data and the nonlinearity.