代数的マルチグリッド法を用いた粒子法における圧力ポアソン方程式の解法
本研究では, 粒子法を用いた非圧縮性流れの数値シミュレーションにおける圧力ポアソン方程式の解法として適するAMG法を用いた線形ソルバーについて検討を行った. 粒子法では, 格子法の場合と比較して, 係数行列が多くの非ゼロ要素をもち, なおかつ, 時間の進行と共に大きく変化することが特徴として挙げられるが, これに即する手法としてPA-AMG法ならびにK-cycleマルチグリッド法をBiCGSTAB法に対する前処理として適用することを考え, 数値実験に基づく性能検証を実施した. 基礎検証として2次元ポアソン方程式にMPS粒子間相互作用モデルを用いて離散化した線形方程式を対象に解析を行った. なお...
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| Published in | Transactions of the Japan Society for Computational Engineering and Science Vol. 2016; p. 20160012 |
|---|---|
| Main Authors | , , , |
| Format | Journal Article |
| Language | Japanese |
| Published |
一般社団法人 日本計算工学会
2016
JAPAN SOCIETY FOR COMPUTATIONAL ENGINEERING AND SCIENCE |
| Subjects | |
| Online Access | Get full text |
| ISSN | 1347-8826 |
| DOI | 10.11421/jsces.2016.20160012 |
Cover
| Abstract | 本研究では, 粒子法を用いた非圧縮性流れの数値シミュレーションにおける圧力ポアソン方程式の解法として適するAMG法を用いた線形ソルバーについて検討を行った. 粒子法では, 格子法の場合と比較して, 係数行列が多くの非ゼロ要素をもち, なおかつ, 時間の進行と共に大きく変化することが特徴として挙げられるが, これに即する手法としてPA-AMG法ならびにK-cycleマルチグリッド法をBiCGSTAB法に対する前処理として適用することを考え, 数値実験に基づく性能検証を実施した. 基礎検証として2次元ポアソン方程式にMPS粒子間相互作用モデルを用いて離散化した線形方程式を対象に解析を行った. なお, 擬似乱数を用いることにより粒子分布のばらつきを模擬した. 検証の結果, 対象とする問題サイズに依らずおよそ一定のcoarsening ratio (3.9から4.0) を有する安定なコースグリッド生成が実現された. また, 求解にかかる計算時間について前処理BiCGSTAB法と比較したところ, 問題サイズnに対して, 前処理の場合ではnの1.5乗に, PA-AMG前処理付きの場合ではnの1乗に比例する傾向を示した. また, n > 10^4では前処理BiCGSTAB法より高速であり, n > 10^6では10倍以上の速度が得られた. 実問題に対する有用性を検証するため, MPS法を用いた2次元ダムブレイク問題の非圧縮流れの解析を行った. MPS法の計算において現れる圧力ポアソン方程式の解法として前処理BiCGSTAB法とPA-AMG前処理付きBiCGSTAB法を適用し, シミュレーションに要する全体の計算時間の比較を行った. その結果, 検証を行った粒子数範囲 (7000～130万) では総じてPA-AMG前処理付きBiCGSTAB法を用いた場合の方が高速であり, 最大で約16倍の高速化が得られた. 更に, 全体の計算時間に対する圧力ポアソン方程式解法が占める割合は粒子数が大きな問題に対してもおよそ一定に保たれる結果となった. 以上の結果より, PA-AMG法を前処理としたBiCGSTAB法は, 流体シミュレーションにおいて, 粒子分布の不均一化や複雑な境界形状変化に対する堅牢性を有し, 安定して高い計算速度を実現できることから, 粒子法の圧力ポアソン方程式に適する一解法であると結論付けることができた. |
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| AbstractList | In this paper, we present application of the algebraic multigrid method to a pressure Poisson equation that arises in the fluid flow simulation of the particle method. The solution method is based on the plain aggregation algebraic multigrid (PA-AMG), in which the double pairwise aggregation is employed for grid coarsening and K-cycle is adopted for multigrid cycle. The PA-AMG method is used as a preconditioner for BiCGSTAB method. The method is applied to fundamental test problems to examine the performance for solution of linear systems generated by discretizing a Poisson equation based on the MPS method. The numerical results showed that the present method is successful in coarsening grid with constant coarsening ratio and can solve Poisson equations faster than non-preconditioned BiCGSTAB method especially for large problems.
本研究では, 粒子法を用いた非圧縮性流れの数値シミュレーションにおける圧力ポアソン方程式の解法として適するAMG法を用いた線形ソルバーについて検討を行った. 粒子法では, 格子法の場合と比較して, 係数行列が多くの非ゼロ要素をもち, なおかつ, 時間の進行と共に大きく変化することが特徴として挙げられるが, これに即する手法としてPA-AMG法ならびにK-cycleマルチグリッド法をBiCGSTAB法に対する前処理として適用することを考え, 数値実験に基づく性能検証を実施した. 基礎検証として2次元ポアソン方程式にMPS粒子間相互作用モデルを用いて離散化した線形方程式を対象に解析を行った. なお, 擬似乱数を用いることにより粒子分布のばらつきを模擬した. 検証の結果, 対象とする問題サイズに依らずおよそ一定のcoarsening ratio (3.9から4.0) を有する安定なコースグリッド生成が実現された. また, 求解にかかる計算時間について前処理なしBiCGSTAB法と比較したところ, 問題サイズnに対して, 前処理なしの場合ではnの1.5乗に, PA-AMG前処理付きの場合ではnの1乗に比例する傾向を示した. また, n > 10^4では前処理なしBiCGSTAB法より高速であり, n > 10^6では10倍以上の速度が得られた. 実問題に対する有用性を検証するため, MPS法を用いた2次元ダムブレイク問題の非圧縮流れの解析を行った. MPS法の計算において現れる圧力ポアソン方程式の解法として前処理なしBiCGSTAB法とPA-AMG前処理付きBiCGSTAB法を適用し, シミュレーションに要する全体の計算時間の比較を行った. その結果, 検証を行った粒子数範囲 (7000～130万) では総じてPA-AMG前処理付きBiCGSTAB法を用いた場合の方が高速であり, 最大で約16倍の高速化が得られた. 更に, 全体の計算時間に対する圧力ポアソン方程式解法が占める割合は粒子数が大きな問題に対してもおよそ一定に保たれる結果となった. 以上の結果より, PA-AMG法を前処理としたBiCGSTAB法は, 流体シミュレーションにおいて, 粒子分布の不均一化や複雑な境界形状変化に対する堅牢性を有し, 安定して高い計算速度を実現できることから, 粒子法の圧力ポアソン方程式に適する一解法であると結論付けることができた. 本研究では, 粒子法を用いた非圧縮性流れの数値シミュレーションにおける圧力ポアソン方程式の解法として適するAMG法を用いた線形ソルバーについて検討を行った. 粒子法では, 格子法の場合と比較して, 係数行列が多くの非ゼロ要素をもち, なおかつ, 時間の進行と共に大きく変化することが特徴として挙げられるが, これに即する手法としてPA-AMG法ならびにK-cycleマルチグリッド法をBiCGSTAB法に対する前処理として適用することを考え, 数値実験に基づく性能検証を実施した. 基礎検証として2次元ポアソン方程式にMPS粒子間相互作用モデルを用いて離散化した線形方程式を対象に解析を行った. なお, 擬似乱数を用いることにより粒子分布のばらつきを模擬した. 検証の結果, 対象とする問題サイズに依らずおよそ一定のcoarsening ratio (3.9から4.0) を有する安定なコースグリッド生成が実現された. また, 求解にかかる計算時間について前処理BiCGSTAB法と比較したところ, 問題サイズnに対して, 前処理の場合ではnの1.5乗に, PA-AMG前処理付きの場合ではnの1乗に比例する傾向を示した. また, n > 10^4では前処理BiCGSTAB法より高速であり, n > 10^6では10倍以上の速度が得られた. 実問題に対する有用性を検証するため, MPS法を用いた2次元ダムブレイク問題の非圧縮流れの解析を行った. MPS法の計算において現れる圧力ポアソン方程式の解法として前処理BiCGSTAB法とPA-AMG前処理付きBiCGSTAB法を適用し, シミュレーションに要する全体の計算時間の比較を行った. その結果, 検証を行った粒子数範囲 (7000～130万) では総じてPA-AMG前処理付きBiCGSTAB法を用いた場合の方が高速であり, 最大で約16倍の高速化が得られた. 更に, 全体の計算時間に対する圧力ポアソン方程式解法が占める割合は粒子数が大きな問題に対してもおよそ一定に保たれる結果となった. 以上の結果より, PA-AMG法を前処理としたBiCGSTAB法は, 流体シミュレーションにおいて, 粒子分布の不均一化や複雑な境界形状変化に対する堅牢性を有し, 安定して高い計算速度を実現できることから, 粒子法の圧力ポアソン方程式に適する一解法であると結論付けることができた. |
| Author | 松永, 拓也 柴田, 和也 越塚, 誠一 室谷, 浩平 |
| Author_FL | SHIBATA Kazuya MUROTANI Kohei MATSUNAGA Takuya KOSHIZUKA Seiichi |
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| PublicationYear | 2016 |
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| References | (19) Notay, Y., An aggregation-based algebraic multigrid method, Electronic Transactions on Numerical Analysis, 37, 2010, pp. 123-146. (10) Brandt, A., Multi-level adaptive solutions to boundary-value problems, Mathematics of computation, 31, 1977, pp. 333-390. (5) Tanaka, M. and Masunaga, T., Stabilization and smoothing of pressure in MPS method by quasi-compressibility, Journal of Computational Physics, 229, 2010, pp. 4279-4290. (6) Shibata, K., Masaie, I., Kondo, M., Murotani, K., and Koshizuka, S., Improved pressure calculation for the moving particle semi-implicit method, Computational Particle Mechanics, 2, 2015, pp. 91-108. (20) Notay, Y. and Vassilevski, P.S., Recursive Krylov-based multigrid cycles, Numerical Linear Algebra with Applications, 15, 2008, pp. 473-487. (7) Tamai, T. and Koshizuka, S., Least squares moving particle semi-implicit method, Computational Particle Mechanics, 1, 2014, pp. 277-305. (14) Seibold, B., Performance of algebraic multigrid methods for non-symmetric matrices arising in particle methods, Numerical Linear Algebra with Applications, 17, 2010, pp. 433-451. (16) Kim, H., Xu, J., and Zikatanov, L., A multigrid method based on graph matching for convection–diffusion equations, Numerical Linear Algebra with Applications, 10, 2003, pp. 181-195. (15) Trask, N., Maxey, M., Kim, K., Perego, M., Parks, M.L., Yang, K., and Xu, J., A scalable consistent second-order SPH solver for unsteady low Reynolds number flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 289, 2015, pp. 155-178. (12) Van der Vorst, H.A., Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 13, 1992, pp. 631-644. (3) 越塚誠一, 粒子法, 丸善, 2007. (11) Hestenes, M.R. and Stiefel, E., Methods of conjugate gradients for solving linear systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 49, 1952, pp. 409-436. (13) Stüben, K., A review of algebraic multigrid, Journal of Computational and Applied Mathematics, 128, 2001, pp. 281-309. (4) 越塚誠一, 柴田和也, 室谷浩平, 粒子法入門, 丸善出版, 2014. (2) Koshizuka, S. and Oka, Y., Moving-particle semi-implicit method for fragmentation of incompressible fluid, Nuclear Science and Engineering, 123, 1996, pp. 421-434. (17) Vanek, P., Mandel, J., and Brezina, M., Algebraic multigrid by smoothed aggregation for second and fourth order elliptic problems, Computing, 56, 1996, pp. 179-196. (9) Shao, S. and Lo, E.Y.M., Incompressible SPH method for simulating Newtonian and non-Newtonian flows with a free surface, Advances in Water Resources, 26, 2003, pp. 787-800. (1) Monaghan, J.J., Smoothed particle hydrodynamics, Annual review of astronomy and astrophysics, 30, 1992, pp. 543-574. (8) Murotani, K., Masaie, I., Matsunaga, T., Koshizuka, S., Shioya, R., Ogino, M., and Fujisawa, T., Performance improvements of differential operators code for MPS method on GPU, Computational Particle Mechanics, 2, 2015, pp. 261-272. (18) Braess, D., Towards algebraic multigrid for elliptic problems of second order, Computing, 55, 1995, pp. 379-393. |
| References_xml | – reference: (13) Stüben, K., A review of algebraic multigrid, Journal of Computational and Applied Mathematics, 128, 2001, pp. 281-309. – reference: (4) 越塚誠一, 柴田和也, 室谷浩平, 粒子法入門, 丸善出版, 2014. – reference: (14) Seibold, B., Performance of algebraic multigrid methods for non-symmetric matrices arising in particle methods, Numerical Linear Algebra with Applications, 17, 2010, pp. 433-451. – reference: (8) Murotani, K., Masaie, I., Matsunaga, T., Koshizuka, S., Shioya, R., Ogino, M., and Fujisawa, T., Performance improvements of differential operators code for MPS method on GPU, Computational Particle Mechanics, 2, 2015, pp. 261-272. – reference: (2) Koshizuka, S. and Oka, Y., Moving-particle semi-implicit method for fragmentation of incompressible fluid, Nuclear Science and Engineering, 123, 1996, pp. 421-434. – reference: (9) Shao, S. and Lo, E.Y.M., Incompressible SPH method for simulating Newtonian and non-Newtonian flows with a free surface, Advances in Water Resources, 26, 2003, pp. 787-800. – reference: (15) Trask, N., Maxey, M., Kim, K., Perego, M., Parks, M.L., Yang, K., and Xu, J., A scalable consistent second-order SPH solver for unsteady low Reynolds number flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 289, 2015, pp. 155-178. – reference: (10) Brandt, A., Multi-level adaptive solutions to boundary-value problems, Mathematics of computation, 31, 1977, pp. 333-390. – reference: (3) 越塚誠一, 粒子法, 丸善, 2007. – reference: (5) Tanaka, M. and Masunaga, T., Stabilization and smoothing of pressure in MPS method by quasi-compressibility, Journal of Computational Physics, 229, 2010, pp. 4279-4290. – reference: (6) Shibata, K., Masaie, I., Kondo, M., Murotani, K., and Koshizuka, S., Improved pressure calculation for the moving particle semi-implicit method, Computational Particle Mechanics, 2, 2015, pp. 91-108. – reference: (16) Kim, H., Xu, J., and Zikatanov, L., A multigrid method based on graph matching for convection–diffusion equations, Numerical Linear Algebra with Applications, 10, 2003, pp. 181-195. – reference: (11) Hestenes, M.R. and Stiefel, E., Methods of conjugate gradients for solving linear systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 49, 1952, pp. 409-436. – reference: (1) Monaghan, J.J., Smoothed particle hydrodynamics, Annual review of astronomy and astrophysics, 30, 1992, pp. 543-574. – reference: (12) Van der Vorst, H.A., Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 13, 1992, pp. 631-644. – reference: (7) Tamai, T. and Koshizuka, S., Least squares moving particle semi-implicit method, Computational Particle Mechanics, 1, 2014, pp. 277-305. – reference: (18) Braess, D., Towards algebraic multigrid for elliptic problems of second order, Computing, 55, 1995, pp. 379-393. – reference: (20) Notay, Y. and Vassilevski, P.S., Recursive Krylov-based multigrid cycles, Numerical Linear Algebra with Applications, 15, 2008, pp. 473-487. – reference: (17) Vanek, P., Mandel, J., and Brezina, M., Algebraic multigrid by smoothed aggregation for second and fourth order elliptic problems, Computing, 56, 1996, pp. 179-196. – reference: (19) Notay, Y., An aggregation-based algebraic multigrid method, Electronic Transactions on Numerical Analysis, 37, 2010, pp. 123-146. |
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