Sticky-reflecting diffusion as a Wasserstein gradient flow

• Published in: Journal de mathématiques pures et appliquées Vol. 199; p. 103721
• Main Authors: Casteras, Jean-Baptiste, Monsaingeon, Léonard, Santambrogio, Filippo
• Format: Journal Article
• Language: English
• Published: Elsevier Masson SAS 01.07.2025
• Subjects: Fokker-Planck equation; Optimal transport; Sticky Brownian motion; Wasserstein gradient flow; 35A15; 35A01; Wasserstein gradient flow; Sticky Brownian motion; 49Q22; Fokker-Planck equation; 35K45; Optimal transport
• ISSN: 0021-7824
• DOI: 10.1016/j.matpur.2025.103721

In this paper we identify the Fokker-Planck equation for (reflected) Sticky Brownian Motion as a Wasserstein gradient flow in the space of probability measures. The driving functional is the relative entropy with respect to a non-standard reference measure, the sum of an absolutely continuous interior part plus a singular part supported on the boundary. Taking the small time-step limit in a minimizing movement (JKO scheme) we prove existence of weak solutions for the coupled system of PDEs satisfying in addition an Energy Dissipation Inequality. Dans cet article l'équation de Fokker-Planck pour le Sticky mouvement Brownien (réfléchi) est identifiée comme un flot-gradient Wasserstein dans l'espace des mesures de probabilité. La fonctionnelle pilotant la dynamique est l'entropie relative à une mesure de référence non standard, somme d'une partie intérieure absolument continue et d'une partie singulière supportée au bord. En prenant la limite de petit pas de temps dans un mouvement minimisant (schéma JKO) on prouve l'existence de solutions faibles pour le système couplé d'EDPs satisfaisant de plus une Inégalité de Dissipation de l'Énergie.